1. 研究目的与意义
目的：
在莱布尼茨-牛顿微积分中，我们学习了微分和积分确定性函数。 微分的一个基本定理是链式法则，它给出了两个可微函数的复合的导数。 这链式法则，当写成不定积分形式时，产生的方法是替代。 在高级微积分中，定义了黎曼-斯蒂尔杰斯积分通过与“分区-评估-求和-限制”相同的过程黎曼积分。在处理随机函数如布朗运动函数时，莱布尼茨-牛顿微积分的链式法则失效了。 布朗尼运动如此迅速且不规则地移动，以至于几乎所有的采样路径都无处可区分。 因此我们不能区分布朗函数与莱布尼茨-牛顿微积分中的运动方式相同。 伊藤积分最初的动机是用来构造尔可夫扩散过程无穷小生成元。之前，构建这些过程必须通过希尔—吉田耕作定理、里斯表示定理和柯尔莫哥洛夫扩展定理三个步骤。伊藤直接利用随机微分方程和伊藤公式直接构造了三个扩散的过程做为具有次无穷小生成元的随机积分方程的解，极大的简化了相关研究过程。意义： 在过去的 60 年中，随机积分的伊藤理论已被广泛研究并应用于广泛的科学领域。其中，最著名的应用是金融学中的布莱克—斯克尔斯理论，伊藤随机积分理论做为布莱克-斯科尔斯理论的重要工具为Robert C. Merton 和 Myron S. Scholes 获得了1997 年的诺贝尔经济学奖奠定了基础。因此，大量学者认为伊藤应该与默顿和斯科尔斯分享诺贝尔奖。 此外，伊藤随机积分在其他几乎所有涉及随机函数的科学领域都有广泛的应用，已经成为现在随机分析学领域不可或缺的工具之一。
2. 研究内容和预期目标
伊藤的随机积分理论最初是作为一种直接方法来构建扩散过程（马尔可夫过程的一个子类）作为随机微分方程的解。 它也可以从鞅的角度出发。论文的研究目标就是了解并研究随机积分理论的构造，并将其应用到现实的金融学问题中。
第一部分主要是了解并研究随机积分的构造，包括其背景和动机、对伊藤积分的定义等。
第二部分的内容是通过对随机积分构造的研究，拓展到其在金融学中的应用。
3. 国内外研究现状
使用伊藤积分或随机微分方程建模在各种应用领域中变得越来越重要，包括物理、生物学、化学和金融。
鉴于随机积分是基于深奥的数学理论，国内外学者导出布莱克—斯科尔斯期权定价公式，并运用源于随机金融的应用程序，对随机积分在金融学领域的应用进行研究。
4. 计划与进度安排
第一阶段（2022.12.10-2022.12.30）:拟定论文的研究计划和路线，收集相关文献，了解相关知识，撰写开题报告；第二阶段（2022.12.31-2022.1.20）：搜索大量资料并进行整合，对数据进行借鉴分析，归纳总结，做出论文的研究规划；第三阶段（2022.1.21-2022.2.15）：完成论文的初稿；第四阶段（2022.2.16-2022.3.20）：论文查重并对论文进行修改；第五阶段（2022.3.20-返校）：定稿，返校进行论文答辩。
5. 参考文献
[1] Durrett, R.: Stochastic Calculus. CRC Press, 1996. [2] Emery, M.: An Introduction to Stochastic Processes. Universitext, Springer-Verlag, 1989.[3] Freedman, D.: Brownian Motion and Diffusion. Springer-Verlag, 1983.[4] Friedman, A.: Stochastic Differential Equations and Applications, volume II, Academic Press, 1976. [5] Gard, T. C.: Introduction to Stochastic Differential Equations. Marcel Dekker,1988.[6] Hida, T. and Hitsuda, M.: Gaussian Processes. Translations of Mathematics Monographs, vol. 120, Amer. Math. Soc., 1993. [7] Iyanaga, S. and Kawada, Y. (editors): Encyclopedic Dictionary of Mathematics,by Mathematical Society of Japan. English translation reviewed by K. O. May,MIT Press, 1977 .[8] Kopp, P.: Martingales and Stochastic Integrals. Cambridge University Press,1984.[9] McKean, H. P.: Stochastic Integrals. Academic Press, 1969.[10] Mikosch, T.: Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. WorldScientific, 1998.
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